APÉNDICE  "B"

LA SECCION DE ORO

O PROPORCION AUREA

 

La sección de oro o proporción áurea *, como también se le conoce, es una proporción con características únicas en propiedades estéticas y efectos de armonía en Geometría.. Por tal razón, ha sido utilizada extensamente por pintores, escultores, ingenieros y arquitectos, para proporcionar sus obras. La encontramos en diseños de jarrones, estatuas, vasos, pinturas, monumentos, catedrales, templos, y muchas otras grandes estructuras, como la del Partenón en la Acrópolis de Atenas y el edificio de las Naciones Unidas en la ciudad de Nueva York, en Estados Unidos.

Es conocido que la proporción de oro se produce en la naturaleza en la forma en que se distribuyen las hojas de algunos árboles, las conchas de ciertos caracoles, en la proporción del cuerpo humano, y aún más, en la formación de las galaxias en el firmamento. El Número de Oro, que identifica la Sección de Oro, tiene una función equivalente a 1.61803..., valor que se puede generar matemáticamente, mediante el uso de álgebra, de geometría, etcétera.

Una forma de producir matemáticamente el número de oro es mediante la serie conocida como Fibonacci. Esta serie lleva el nombre del matemático italiano, Leonardo Fibonacci, quien la descubrió. Observe la línea de números enteros que se ilustra a continuación. La línea comienza con el 0 y el siguiente número es el 1. Cada término siguiente es igual a la suma de los dos números que le preceden. La secuencia de números comienza con la suma de 0 más 1, que es igual a 1, luego 1 más 1, que es igual a 2, sigue 1 más 2 que es igual a 3, 2 más 3 igual a 5, 3 más 5 es igual a 8, 5 más 8 es igual a 13, etcétera.

0 - 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144 - 233 - 377

* La función del número de oro es igual a 1.618033..., y al igual que la función de Pi (p), su decimal no tiene fin. Generalmente se identifica con la letra griega Phi (ø). Para efectos prácticos, su valor se abrevia a 1.618.

Una propiedad de la secuencia Fibonacci es que la razón entre el número mayor y la del menor, de dos números consecutivos, se va acercando al valor de f según aumentan los números de la serie. Mientras mayores sean los números, más precisa será la aproximación del resultado a la función del número de oro. Por ejemplo, si nos referimos a la serie de números señalada, 13 dividido entre 8 es igual 1.625..., 21 entre 13 es igual a 1.6153846..., 34 entre 21 es igual a 1.6190476..., 55 entre 34 es igual a 1.6176471..., 377 entre 233 es igual a 1.6180258..., y continúa así, aproximándose el resultado cada vez más al valor de f.

De otro lado, la proporción de oro se puede ilustrar geométricamente mediante la construcción de un cuadrado. Por ejemplo, según se muestra en la figura 132 (a), dibuje un cuadrado ABCD de cualquier tamaño. Fije el valor de cada lado igual a uno (1.0). Divida el lado AD en dos partes iguales (el punto E representa el centro). Luego, según se ilustra en la figura 132 (b), con el punto E de centro y EC de radio, trace un arco de círculo hasta interceptar la prolongación del lado AD del cuadrado, en el punto F.

 

Figura 132

Al construir un rectángulo con la distancia del punto A al punto F como uno de sus lados, y la distancia del punto A al punto B como la del otro, según se muestra en la figura 132 (c), éste quedará proporcionado de acuerdo a la sección de oro. La medida del lado AB será igual a 1.0, y la del lado AC igual a 1.61803.

El ángulo EDC es de 90° ya que es una de las esquinas del cuadrado. De acuerdo al Teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa (lado diagonal) de un triángulo rectángulo, es equivalente a la suma de los cuadrados de sus lados. Por consiguiente, la hipotenusa (línea EC) es igual a la raíz cuadrada de (.5) al cuadrado (línea ED), más 1 al cuadrado (línea DC). El resultado es 1.11803. Por tanto, la longitud de la línea AF es igual a 1.11803 más 0.5, o sea, 1.61803, que es equivalente al valor de la función del número de oro.

La longitud de la línea DF es igual a la distancia del punto A al punto F, menos la distancia del punto A al punto D. Es decir, 1.61803 menos 1. El resultado es 0.61803, valor que es equivalente al inverso del número de oro, esto es, 1 / f.

Figura 133

Las líneas que enmarcan la figura del jarrón (a) y la de la lámpara (b), muestran la forma de proporcionar los dos objetos, de acuerdo con la proporción de oro.

También podemos producir el número de oro mediante la relación de segmentos de una línea, dividida en dos partes desiguales. Se establece la relación de que la parte pequeña es a la parte mayor como la parte mayor es a la suma de las dos partes. En otras palabras, la relación del segmento pequeño de la línea, al segmento grande, es proporcional a la relación del segmento grande a la longitud de la línea.

Si trazamos la línea AB, según ilustrado abajo y marcamos el punto C en esa línea AB asignándole un valor de uno (1) al segmento AC, y un valor de X al segmento CB, tendríamos:

 

A _____________C___________________________ B

                1

Segmento Pequeño (AC) = Segmento Grande (CB)

Segmento Grande (CB) Longitud Total (AB)

 

Es decir, 1 / x = x / (x + 1), que resulta en la ecuación

 

x² - x - 1 = 0

 

Al resolver la ecuación por los valores de x, encontramos que la raíz positiva de la ecuación es 1.61803..., el valor del número de oro (f), mientras que la raíz negativa resulta ser igual a 0.61803..., que es equivalente al inverso del número de oro, es decir, (1 / f).

Se han omitido los cálculos para resolver la ecuación ya que nuestro interés es únicamente de señalar este otro método para producir la proporción de oro.

Entre las formas de crear la proporción de oro, tal vez la más interesante, es la que se produce con la figura del círculo, como veremos a continuación. Aunque hay muchas otras formas geométricas de hacerlo, entiendo que la siguiente es mucho más fácil de explicar y de comprender.

En la figura 134, se han trazado dos círculos de igual radio (R = 1) con sus circunferencias tangentes en el punto B.

 

Figura 134

Desde el punto K (punto inferior del diámetro vertical QK del primer círculo), trace una línea hasta el centro (L) del círculo adyacente. Prolongue la línea hasta interceptar la circunferencia del círculo con centro L, en el punto D.

El triángulo KOL que se forma en la configuración es recto ya que KO es perpendicular a OL. Por tanto, con el teorema de Pitágoras podemos calcular la medida de la hipotenusa (KL). La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los lados. Es decir, la raíz cuadrada de (OL)² más (OK)². Como OL es igual a 2 y OK es igual a 1, la hipotenusa resulta ser igual a la raíz cuadrada de 5, es decir, KL = Ö5. Por consiguiente, la distancia del punto K al punto D es igual a la raíz cuadrada de 5, más 1 (= radio LD), en otra forma, Ö5 +1.

Si dividimos la longitud KD en dos partes iguales, según se ilustra en la figura 135, hacemos geométricamente el procedimiento de dividir entre 2, la raíz cuadrada de 5, más 1, esto es, 5 +1) / 2 que como conocemos es igual a f.

Para dividir la línea KD en dos partes iguales, desde el punto K trace un arco con un radio mayor que la mitad de la línea KD. Luego, con un radio igual, haga lo mismo desde el punto D. Trace una línea entre los puntos de intersección de los dos arcos (del punto e, al punto f). El punto G, donde la línea intercepta KD, establece el punto medio de la línea KD.

 

 

Figura 135

Se notará en la figura 136, que la distancia del punto K al punto M (punto en que la línea KL corta la circunferencia del círculo con centro L), es igual a la distancia del punto K al punto L, menos la medida del radio, esto es, Ö5 - 1.

 

 

Figura 136

Al dividir la línea KM en dos segmentos iguales, o sea, la raíz cuadrada de 5, menos 1, dividido entre 2, cada segmento es equivalente a 0.61803, valor que representa 1 / f. En la figura también se ilustran otras equivalencias relacionadas con f.

El número de oro es muy conocido por su propiedad especial de que su cuadrado es igual a sí mismo, más uno (f² = f + 1), mientras que su inverso es igual a sí mismo, menos uno (1 / f) = f - 1). Como se podrá apreciar, podemos crear toda una gama de relaciones numéricas y geométricas, relacionadas con el valor de la función del número de oro.

Existen algunas relaciones aproximadas entre el valor de f y la función de p, tales como: (p) = 4 / Öf, y (p)= 1.2 f². En el Apéndice F muestro mi versión de cómo producir geométricamente esta última. Hay una aproximación que encontré en mis cómputos y la cual desconozco si es conocida, (p) = f / seno de 31°. En el Apéndice D muestro como producirla geométricamente.

Propiedades del triángulo recto con catetos (lados opuestos a la hipotenusa) en relación 1: 2

Al analizar la relación de ángulos y distancias entre los pasadizos y cámaras construidas dentro y debajo de la Gran Pirámide podemos notar su constante relación con el triángulo recto cuyos lados guardan la relación 1:2.

Es conocido que este tipo de triángulo fue usado en muchas de las construcciones egipcias. Se notará que es el mismo triángulo presentado previamente en este capítulo para mostrar como producir el número de oro. También es el que se produce al utilizar la longitud del radio de un círculo como el lado corto, y la longitud de su diámetro, como la del lado largo. Más adelante veremos cómo este triángulo es un digno representante de la función de f.

En la sección superior de la figura 137, se muestra con el triángulo ABC, la relación entre el diámetro y el radio del círculo. El lado corto (AC) representa el radio, mientras que el lado largo (AB), representa su diámetro.

Al examinar el triángulo ABC ilustrado en la sección inferior de la figura 137, notará que la misma figura del triángulo nos expone claramente su relación con el número de oro y las de sus relaciones geométricas y matemáticas.

Para facilitar la explicación, digamos que la longitud del lado corto del triángulo es igual a 1 y la del lado largo es igual a 2. La hipotenusa, como ya sabemos, es equivalente a Ö5.

Podrá observar en la figura del triángulo, que si sumamos el valor de la hipotenusa 5), más la longitud del lado corto (1), y la dividimos entre la del lado largo (2), estamos haciendo un procedimiento que es equivalente al proceso matemático para determinar el valor de f, esto es, 5 +1) / 2.

Con el triángulo ABC, desarrollé una serie de relaciones numéricas en referencia al valor de f, las cuales nos pueden ayudar a recordar fácilmente las fórmulas del número de oro, veamos.

 

 

Figura 137

Õ La hipotenusa 5), más la longitud del lado corto (1), dividido entre la medida del lado largo (2), es equivalente al número de oro.

5 +1) / 2 = f

Õ La hipotenusa 5), menos la medida del lado corto (1), dividido entre la medida del lado largo (2), es igual al inverso del número de oro.

5 - 1) / 2 = 1 / f.

Õ La hipotenusa 5), más la medida del lado largo (2), dividido entre la medida del lado corto (1), es equivalente al número de oro al cubo.

5 +2) / 1 = f³

Õ La hipotenusa 5), menos la medida del lado largo (2), dividido entre la medida del lado corto (1), es igual al inverso del número de oro al cubo.

5 - 2) / 1 = 1 / f³

Õ La suma de los tres lados del triángulo 5 + 2 + 1), es equivalente al número de oro al cubo, más 1.

5 +1 + 2) = Ö5 + 3 = f³ + 1.

 

Figure 138

En la figura 138 presentamos un análisis geométrico de algunas expresiones del número de oro que se originan con este triángulo, veamos. El punto (f) representa el punto medio de la línea QO. Con centro en el punto f, trace un círculo con radio fQ = (0.5). Los segmentos (Ca) y (bB), de la línea CB, son equivalentes a 0.618034, valor que representa 1 / f. Por tanto, el segmento de línea (aB) es igual a 1, más 0.618034, que es equivalente a 1.618034 = f. Observe que CB = Ö5, y a la suma de los segmentos (aB + aC), en otra forma, Ö5 = f + (1 / f).

En la figura 139 mostramos el mismo triángulo ABC. Con el punto C de centro, trace un círculo con radio unitario (lado corto), Luego, con el punto B de centro, trace otro círculo de igual radio. La suma de los segmentos de línea EC y BD es equivalentes a uno. La hipotenusa CB es igual a Ö5. Por lo tanto, la longitud de ED es igual a 5 + 2) = 4.236068 = f³. Como sabemos que 1 / f³ = 0.236068, podemos expresar la ecuación como f³ - (1/f³) = 4.

El segmento (jk) en la línea ED es igual a la raíz cuadrada de 5, menos 2. La expresión 5 - 2) es igual a 0.236068 y corresponde al inverso del número de oro al cubo, o sea, 1/ f³. La longitud de la línea ED es equivalente a (4 + 1/ f³), que a su vez, es igual a f³.

 

Figura 139

Existen dos relaciones geométricas del número de oro que vale la pena examinar por ser muy interesantes. Estas son las siguientes:

(f) + (1 / f²) = 2

(f²)+(1 / f²) = 3

En referencia a la primera, podemos demostrarla, según se muestra en la figura 140. Construya el cuadrado (OMNB) usando OB como uno de sus lados. Desde el punto medio de OB (punto S), trace un arco con la distancia SM de radio hasta interceptar la línea AB (en el punto h). La longitud Bh será igual a f. La longitud del punto A, al punto h, es igual a 0.381966, que equivale a (1 / f²).

La longitud de AB es igual a 2.

Por consiguiente: AB =( f) + (1 / f²)= 2.

 

 

Figura 140

Para demostrar la segunda relación f²+ (1 / f²)= 3, usaremos el teorema de Pitágoras. Con centro en h, proyecte la distancia hO verticalmente y marque el punto g. La medida de hg es igual a = hO = 0.618034 = 1 / f. Por otro lado, hB es igual a f.

Lado hB = f = (Ö5 +1) / 2

Lado hg = 1 / f = (Ö5 - 1) / 2

Como el ángulo ghB es un triángulo recto, al aplicar el teorema de Pitágoras tenemos:

(gB)² = (hB)² + (gh)²

(gB)² = [ ( Ö5 +1 ) / 2 + [ 2 / ( Ö5 +1) = f² + 1 / f²

(gB)² = 6 ( 3 + Ö5 ) / 2 ( 3 + Ö5 )

(gB)² = 3 ( 3 + Ö5 ) / ( 3 + Ö5 ) = 3

(gB)² = f² + (1 / f²) = 3

Por lo tanto, vemos que f² + (1 / f²)= 3.

La hipotenusa (gB) es igual a Ö3 = 1.732051

El triángulo recto con lados en proporción 1:2, además de su relación directa con f, forma una relación familiar con el triángulo pitagórico de lados en proporción 3:4:5. La figura 141 muestra el triángulo XVI, formado a su vez, por dos triángulos (iVI y iXI) cuyos lados tienen la proporción 1:2. Al trazar una línea de la esquina X, perpendicular al lado opuesto (punto L), o de la esquina V perpendicular al lado XI (al punto M), se forman los triángulos XLI y VMI, con lados en la proporción 3:4:5.

 

 

Figura 141

 

Figura 142

La figura 142 ilustra el triángulo (ZIX), entre los pasadizos de ascenso y descenso y el eje vertical de la Gran Pirámide. La configuración de estos triángulos insinúan otra de las formas de cómo se pudo fijar la inclinación de los pasadizos de ascenso y descenso de la Gran Pirámide. La figura 142 es similar a la 141.

La medida (iI), o sea, la línea horizontal que divide el triángulo ZIX, es igual a 253.73 pies. Pero observe que esa medida también es igual a la distancia vertical entre el punto Z y X. Expresado en otra forma, es como si tuviéramos un cuadrado con lados de 253.73 pies y trazáramos dos líneas desde las esquinas hasta el centro del lado contrario para formar el triángulo.

Por otro lado, la medida inclinada desde el punto X al S (punto en que la línea del pasadizo de descenso corta el nivel del terreno), también es igual a 253.73 pies. Notará que se crea el triángulo similar XNS. El punto S queda a 226.94 pies, medido horizontalmente desde el eje vertical de la pirámide. la distancia vertical XO, es igual a ON = 113.47'. Por otro lado, si desde el punto X se proyecta la medida de 253.73 pies hasta el punto S, al eje vertical de la pirámide, éste quedará ubicado sobre el punto Z.

Con el triángulo (OZp) ocurre lo mismo. La medida de 156.81 pies de la Gran Galería, es igual a la medida de la línea inclinada Op, y la medida Wp (pasadizo de la cámara de la reina = OZ) (medida vertical del centro de la pirámide en la base, al punto Z).

Las fórmulas y relaciones geométricas que he presentado, resultan ser de particular interés para los interesados en las obras del antiguo Egipto y en la función de la constante f. El conocerlas nos permite entender mejor sus diseños y relaciones geométricas.

La función del número de oro ha sido prácticamente olvidada y su enseñanza en los cursos escolares de matemática, geometría, artes y otras ciencias, es limitadísima. Mi recomendación es que sea incluido en los currículos correspondientes. Esta materia está relacionada con el arte, la armonía, la belleza, y la proporción en medidas de diferentes aspectos en la naturaleza, y hasta en el ser humano, según ilustra Leonardo da Vinci en su famoso dibujo (Capítulo 6).

 

 

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