APÉNDICE  "C"

CRITERIOS PARA LA CONSTRUCCION DE PIRAMIDES

Las pirámides eran obras de mucha importancia y significado para los egipcios del Antiguo Egipto. Para realizar sus diseños, los egipcios tenían que haber establecido determinados criterios y contar con métodos y procedimientos geométricos que les facilitara trazar su diseño y realizar su construcción. No obstante, si éstos procedimientos o métodos existieron, fueron olvidados.

Sabemos que las dimensiones importantes en el diseño de pirámides regulares con base cuadrada son la altura (h), la medida de los lados (b) del cuadrado que forma la base, y el ángulo de las caras (q). La razón entre la altura de la pirámide (h) y la mitad de la longitud de los lados de la base (b / 2), establece el valor de la función de la tangente del ángulo de las caras (tan q). La tangente del ángulo de las caras la podemos expresar como:

tan q =h / (b / 2) = (2 h) / b.

Podemos notar en la fórmula, que hay que fijar o establecer el valor numérico de la altura (h) y el de la longitud (b) de los lados de la base, con su unidad de medida, para determinar el valor numérico correspondiente a la función de la tangente del ángulo. Por otro lado, con el ángulo de las caras únicamente, no se puede construir una pirámide definida. Además, necesitamos saber la medida de la altura, o en cambio, la longitud de los lados de la base, una de las dos, ya que con la tangente del ángulo, podemos determinar la otra medida.

No creo que este procedimiento para diseñar las pirámides ofrece muchas alternativas de expresar los diferentes criterios que pudieran utilizar lo egipcios para su creación. Tampoco es un proceso que pueda ser de mucha utilidad durante la fase de construcción.

El proceso tiene dos fases. La primera, para seleccionar el tipo de configuración geométrica a ser utilizada en la construcción (se puede seleccionar entre una cantidad infinita). Esta fase no conlleva fijar valores ni unidades de medida. Está relacionada únicamente con la configuración del diseño. Por ejemplo, una configuración que responda al cuadrado inscrito dentro del círculo, o el círculo inscrito dentro del cuadrado, el triángulo con lados en proporción 3, 4 y 5, o cualquier otro triángulo especial, la configuración formada por la Sección de Oro, etcétera.

En la segunda fase se fijarían las dimensiones de la pirámide. Esta fase estaría relacionada con las cifras, o cantidades, que se desean simbolizar en las medidas, expresadas en las unidades de medida que se usaban en esa época. Por ejemplo, la altura podría simbolizar el número de años transcurridos desde algún evento importante, la edad a que falleció el padre del faraón, el número de países conquistados, o cualquier otro número que fuera significativo para la persona que iba a tomar la decisión.

Examinemos la primera fase. Para crear la configuración geométrica, tenemos que evaluar la fórmula tan q =(2 h) / b. Notará en la fórmula, que si la altura (h) representara el radio (R) de un círculo, el valor de (2h) representaría su diámetro (D). En ese caso, la fórmula se podría simplificar como tan q =(D / b). Por tanto, se puede crear una configuración geométrica utilizando la figura del círculo. Esta configuración geométrica se ilustra en la figura 143, la cual consiste de un círculo donde su radio (R) simboliza la altura de la pirámide. El diámetro horizontal (AB), identifica el nivel del terreno sobre el cual se erigirá la pirámide, y el diámetro vertical (QK), el eje vertical de la pirámide. Estos principios se aplican a cualquier diseño de pirámide.

La línea trazada entre los puntos Q (es fijo) y P (cualquier punto en la circunferencia entre A y K), puede cortar el radio AO del círculo en cualquier punto (en el ejemplo, el punto H). La línea se extiende desde el punto H hasta su punto de intersección con la circunferencia del círculo, denominado P. El punto H representa la proyección de la esquina de la base de la pirámide, vista a través del plano vertical cortado a través del centro de las caras.

La medida del punto H al centro O del círculo representa la mitad de la longitud de los lados de la base. Como HO es equivalente a la mitad de la longitud de los lados de la base y, a su vez, equivalente a O T, la distancia entre el punto H y el punto T fija la longitud de los lados de la base.

Figura 143

Para llevar la proyección del cuadrado de la base al plano vertical, desde el centro O del círculo trace otro círculo con radio HO. Marque los puntos S y U en el eje vertical. Por los cuatro puntos ya definidos, H, T, S, y U, cruzan las líneas que forman las esquinas de la base.

Para localizar las esquinas del cuadrado, desde el punto H, con HO de radio, trace un arco, según se ilustra en la figura. Con un radio igual, repita el procedimiento en los puntos S, T, y U. Los puntos de intersección entre los arcos, marcados como I, II, III, y IV, identifican las esquinas del cuadrado de la base de la pirámide. Al unir con líneas rectas estos cuatro puntos, se obtiene la proyección del cuadrado de la base.

Mediante este procedimiento creamos el triángulo QHT, que representa el plano del corte vertical de la pirámide (cualquier pirámide), según se vería a través del centro de sus caras, y además, los límites del cuadrado de su base.

Se notará que desde el punto superior del diámetro vertical (Q) se pueden trazar un sinnúmero de líneas que crucen el radio AO y lleguen a interceptar la sección entre los puntos A y K en la circunferencia del círculo. Esto da lugar al diseño de una cantidad infinita de pirámides.

Con el propósito de ampliar la explicación, en la figura 144 se muestran varios ejemplos de líneas inclinadas que interceptan o cruzan el radio AO. Estas son las líneas QA, QP, QP’ y QP". Las líneas interceptan el radio AO en los puntos A, H, H’ y H".

Figura 144

En la figura 145 se ilustran las cuatro configuraciones de pirámides que se producen con las líneas trazadas en la figura 144. Los triángulos QAB, QHT, QH’ T ‘ y QH"T", identifican las configuraciones. Cuando se mantiene fijo el punto Q de la línea que va hasta la circunferencia del círculo, entre los puntos A y K, la base del cuadrado que se crea se va haciendo más pequeña, hasta finalmente desaparecer cuando llega al punto K.

 

Figura 145

 

Figura 146

En la figura 146 se muestra que cuando la mitad de los lados de la base (AO) es equivalente al radio del círculo, es decir, D = b / 2 = R, el círculo queda circunscrito por el cuadrado de la base (entre los puntos I, II, III, IV). Como el diámetro es equivalente a D = (2)(b / 2) = b, la tangente del ángulo OAQ es igual a R / (b/2) = R/R = 1. El ángulo cuya función de la tangente es igual a 1, es el ángulo con 45°.

En la misma figura se muestra que cuando la mitad de la longitud de los lados de la base es mayor que el radio del círculo (MO es mayor que AO), el cuadrado de la base (entre los puntos 1, 2, 3, 4) queda localizado fuera de los límites del círculo. En estos casos, el ángulo de las caras es menor de 45°. Esta configuración, que por cierto resulta ser muy interesante, es la que tiene la pirámide del norte en la región de Dahshur, la cual es conocida como la Pirámide Roja. Además, encontramos esta configuración en la sección superior de la única pirámide con dos ángulos diferentes en sus caras, la Pirámide Romboidal (vea Apéndice E).

Otro ejemplo interesante ocurre cuando, por el contrario, es el cuadrado de la base el que queda inscrito en la circunferencia del círculo, según se ilustra en la figura 147. Esta configuración la encontramos en la sección inferior de la Pirámide Romboidal.

 

Figura 147

Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo entre el punto O, el punto II, y el punto T, el radio R (hipotenusa), es equivalente a la raíz cuadrada, de (b / 2)² más (b / 2)². El valor de R resulta ser igual a (b / Ö2). Luego, como (2R) / b representa la tangente del ángulo de las caras, tenemos que tan q = 2 R / b = 2 (b / Ö2) / b = 2 / Ö2 = Ö2. El valor de Ö2 es equivalente a la tangente del ángulo 54° 44' 8.2 segundos (54.73561°). Son muchas las configuraciones geométricas que podemos utilizar para diseñar pirámides. Más adelante analizaremos otras.

Luego de finalizar el diseño, se puede representar la configuración geométrica mediante dos simples líneas que se cruzan perpendicularmente, una vertical y la otra horizontal, según se muestra en la figura 148. La vertical representa el diámetro del círculo y la horizontal el lado de la base. El punto O define el centro del círculo.

Si trazamos una circunferencia en la sección superior, con un diámetro equivalente al radio del círculo exterior, según se ilustra en la figura 149, la forma del diseño se parecería mucho a la famosa cruz egipcia. Tal vez este sea el criterio que dio origen a dicho símbolo. La cruz representaría la configuración utilizada, y sus dimensiones, las medidas proporcionales de la estructura.

 

 

      

          Figura 148                                 Figura 149

El sistema se puede simplificar aún más y llevarlo a una representación angular de dos líneas, una vertical y otra horizontal, que se encuentran en el punto O (centro del círculo en las figuras 150 y 151). La línea vertical QO representa el radio del círculo, mientras que la línea horizontal HO, representa la mitad de la longitud de la base.

 

    

        Figura 150                                     Figura 151

El procedimiento que he señalado aplica al diseño de cualquier pirámide. Para edificar la pirámide, además, necesitamos darle un valor numérico y unidad de medida a la altura y a las medidas de la base, las cuales fijarán el ángulo de las caras. Se notará que la configuración geométrica básica, en la primera fase, no contiene unidades de medida. Corresponde al diseñador, en la segunda fase, después de seleccionar la configuración del diseño, fijar los valores y unidades de medida de su preferencia para terminar el diseño y construir la obra.

Tomemos de ejemplo el diseño de una pirámide que represente el triángulo recto, cuyos lados están en la proporción 3: 4: 5. Triángulo muy conocido por usarse para ilustrar el teorema de Pitágoras. Colocado en la posición ilustrada en la figura 152, su altura (QO), tiene 4 unidades. Su lado en la base (HO) tiene 3 unidades. Supongamos que deseamos diseñar una pirámide que exprese el símbolo de ese triángulo.

Como OQ representa la altura y HO la mitad del lado de la base, la tangente del ángulo es R / (b / 2) = 4 / 3 = 1.33333. El ángulo cuya tangente es igual a 1.33333 corresponde 53° 7' 48.4 segundos (53.13010°). En la figura 153 se muestra la configuración geométrica que se genera para representar este triángulo.

 

Figura 152

 

Figura 153

En la segunda fase, lo siguiente será seleccionar y fijar un valor numérico, con su unidad de medida, para la altura de la pirámide. Podemos usar una cantidad infinita de valores y unidades de medida para la altura. Corresponde a los diseñadores determinar ambas. Mi teoría indica que la altura de la Gran Pirámide es equivalente al producto de 153 multiplicado por p, o sea, R = 153 (p) = 480.66 pies. En el caso especial de esta pirámide, como curiosidad, fijemos la altura equivalente al producto de 150 multiplicado por p, expresado también en unidades de pies. La altura sería equivalente a 150 (p) =471.24 pies. La mitad del lado de la base es equivalente a la medida de la altura dividida entre la tangente del ángulo de las caras, es decir, 471.24 / 1.3333 = 353.43 pies. Significa que la longitud de los lados de la base es igual a dos veces esta cantidad, esto es, b = 2(353.43) = 706.86 pies. El punto X queda ubicado a 131.95' debajo del centro de la pirámide.

Resumiendo, obtenemos una pirámide de 471.24 pies de altura y lados de 706.86 pies. Las dimensiones de los ángulos y medidas en este ejemplo coinciden con las dimensiones de la Pirámide de Kefrén, según se cita en la referencia [Ref. #43, Petrie, Flinders W. M., Pág. 32, (altura = 472', más o menos 13 pulgadas) - Lados (promedio) = 706.24']. Quiere decir, que es muy posible que ésta sea la solución geométrica de la Pirámide de Kefrén.

Por otro lado, examinemos la configuración geométrica que se produce con mi procedimiento geométrico, ilustrado en la figura 154. Entre todas las configuraciones geométricas de pirámides que podamos crear, no hay duda de que es la más estética, mejor proporcionada, la más armoniosa y sobre todo, que contiene innumerables propiedades únicas. Para crear la configuración, se utiliza la medida de 5 - 1). La inclinación de la línea HQ que identifica el ángulo en las caras es de 51.827292° (51° 49' 38.23 segundos). Con este ángulo, la configuración queda proporcionada con relación a la sección de oro.

Las características de esta configuración geométrica son realmente interesantes (vea el Apéndice D). Vale la pena preguntar, ¿conocían estos datos los ingenieros del faraón Cheops, al momento de crear el diseño de la Gran Pirámide? La respuesta debe ser un rotundo ¡Sí! Resulta poco probable que los diseñadores egipcios hayan seleccionado para su obra, por pura casualidad, un ángulo de inclinación tan parecido, o igual, al que tiene esta configuración.

En la figura, el radio del círculo es igual a 1 y su diámetro es igual a 2. La tangente del ángulo es igual a D/b. Pero resulta que en este caso, b = D / Öf (vea el Apéndice D). Por lo tanto, el ángulo de las caras queda establecido en el proceso geométrico. La tangente del ángulo es igual a (D)/(D / Öf) = Öf = 1.27201965. El ángulo (q), cuya tangente es equivalente a 1.27201965, es el que mide 51.8273°, o sea, 51° 49' 38.25 segundos.

El perímetro (P) del cuadrado que se produce es equivalente a 4b, pero como b = D/ Öf, tenemos que P = 4b = 4(D / Öf ) = (4 / Öf)(D). Aquí se produce una situación interesante ya que (4 / Öf) es igual a 3.144605511, valor muy aproximado al de la constante Pi (p = 3.141592654). Esto hace la fórmula del perímetro P = 3.14460551 (D) muy parecida a la fórmula para determinar la circunferencia del círculo, o sea, C = p D = (3.141592654)(D). Como D es igual en ambas fórmulas, los resultados resultan ser casi, pero no iguales.

 

Figura 154

Estimo, que la similitud entre estas dos fórmulas, podría ser la razón por la cual se dice que el perímetro de la base de la Gran Pirámide es equivalente a la circunferencia del círculo cuyo radio es equivalente a su altura. Creo que esta relación matemática es la que ha llevado a muchos a la creencia de que la Gran Pirámide fue diseñada a base de la función de p.

 

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