APÉNDICE  "E"

DISENOS GEOMETRICOS DE LAS PIRAMIDES

1. Pirámide de Kefrén

La Pirámide de Kefrén es la segunda en tamaño de las tres grandes pirámides. Su altura, luego de terminada de construir, era de aproximadamente 471.25 pies. Sus lados medían poco más de 706 pies. Al estudiar la relación del diseño geométrico de esta pirámide, en referencia a su configuración con el círculo, encontré que la misma puede ser trazada usando los mismos principios que utilicé para la configuración de la Gran Pirámide. El diseño geométrico de esta pirámide se puede trazar de la siguiente manera:

1. Trace dos círculos iguales, con centros en O y en L y tangentes en el punto B, según se ilustra en la figura 172. En el círculo con centro O, trace el diámetro horizontal (AB) y el diámetro vertical (QK). Luego, trace la línea KL, donde L representa el centro del círculo tangente.

Figure 172

Marque el punto W en la intersección de la línea KL con la circunferencia del círculo con centro O. Desde K, con un radio igual a KW, trace un arco hasta interceptar el otro lado de la circunferencia del círculo con centro O y marque el punto S en la intersección. Trace una línea del punto S al punto W. Marque el punto F en la intersección de la línea SW con el diámetro vertical (QK).

2. Según se muestra en la figura 173, con el punto F de centro y FS o FW de radio, trace la circunferencia de un círculo. Marque el punto G en la intersección de su circunferencia con el diámetro vertical QK.

 

Figure 173

3. Con K de centro y KG de radio, trace un arco que intercepte ambos lados de la circunferencia del círculo con centro O, según se muestra en la figura 174. Marque los puntos P y N, respectivamente, en las intersecciones del arco con la circunferencia del círculo. Luego, trace una línea del punto P al punto Q, y otra, del punto Q al punto N. Una el punto P con el punto N, para forma el triángulo PQN.

 

Figure 174

4. Según se muestra en la figura 175, marque el punto H, en la intersección de la línea PQ con el diámetro horizontal. Marque el punto T en la intersección de la línea QN con el diámetro horizontal.

En la figura, el triángulo QHT representa el plano del corte vertical de la pirámide, visto a través del centro de sus caras. La línea AB, diámetro horizontal, representa la línea de la base de la pirámide. Para delinear la proyección del cuadrado, trace un círculo con centro en O, y radio igual a OH, o a OT. Marque los puntos E y U en los puntos en que la circunferencia corta el diámetro vertical. La proyección de los lados de la base de la pirámide cruza a través de los puntos H, T, E, y U. Por tanto, se puede establecer la base de la pirámide entre los puntos I, II, III, y IV.

 

Figure 175

5. Luego de trazar la configuración geométrica (vea figura 176), se procederá a calcular sus dimensiones, designando un valor y unidad de medida para su altura. Esta es la única medida que se necesita. Las demás medidas quedarán establecidas automáticamente como resultado de la configuración geométrica. Como ejemplo, si se fija la altura igual a 471.24' (=150 p), número que coincide con la altura de la Pirámide de Kefrén (vea Apéndice C), podemos verificar si las demás medidas calculadas para el diseño, coinciden con las que tiene esa pirámide. La figura 176 muestra el diseño final, y sus dimensiones calculadas.

Las medidas calculadas en el diseño serán comparadas con los datos sobre la Pirámide de Kefrén para verificar si están de acuerdo con las citadas por las referencias. Es importante señalar que aunque la altura seleccionada es igual a la que tiene la Pirámide de Kefrén, las demás medidas, ángulos y características no tienen que ser iguales. El que resulten ser iguales, indica que la configuración geométrica es igual, y por lo tanto, muy bien podría ser la solución geométrica correcta para la Pirámide de Kefrén.

 

Figura 176

Dimensiones calculadas del dibujo:

Altura de la pirámide = h = 150 (p) = 471.24'

Longitud de lados = b = 706.86'

Angulo de inclinación q = 53.1301° = 53° 7' 48.4"

Distancia vertical OX = 131.95'

Apotema = 589.05'

Angulo de la apotema

con el eje vertical = 36.8699° = 36° 52' 12"

Longitud de QP y QN = 753.98'

Distancia vertical OX = 131.95'

[Ref. #43]: Estudio de Sir W. M. Flinders Petrie (1881-82)

- Sir W. M. Flinders Petrie, ingeniero, y Egiptólogo, reconocido como el Padre de la Egiptología.

Longitud de los lados = b = 8,474.9" = 706.24'

= h = 5,664" (más o menos 13") Por tanto h = R = altura = varía entre 470.92' y 473.08'

Angulo de inclinación q = 53° 10' (más o menos 4')

Por tanto, el ángulo q = varía entre 53° 6' y 53° 14'

Mi configuración geométrica para esta Pirámide produce un ángulo en las caras igual al que se produce en un triángulo con lados en proporción 3:4:5, donde el lado con 4 unidades, corresponde a la altura de la pirámide (vea Apéndice C).

Mis fórmulas derivadas para la Pirámide de Kefrén, confirman las medidas calculadas en el dibujo, y además, proveen una relación matemática entre sus medidas.

Dimensiones calculadas mediante fórmulas:

Longitud de lados = = b = (3/2) (R)

= 1.5 (471.24) = 706.86'

Altura de la pirámide = h = (2/3) (b)

= (2/3) (706.86) = 471.24'

Circunferencia del círculo = C = D(p) = P(p /3)= 2,960.89'

Perímetro de la base = P = 4b = 3D

= 471.24(2)(3) = 2,827.44'

Al comparar mis dimensiones calculadas de ángulos y distancias, con las señaladas en el estudio realizado por Sir W. M. Petrie, las mismas coinciden dentro de sus límites. Esto indica que mi diseño muy bien puede ser la solución geométrica correcta para la Pirámide de Kefrén. Además, se fortalece mi teoría sobre el uso del círculo como base y de las configuraciones geométricas como parámetros, para realizar los diseños de pirámides.

Como evidencia adicional, lo siguiente será el análisis geométrico de la pirámide de Micerino, utilizando el mismo método.

2. Pirámide de Micerino

La pirámide de Micerino es la menor de las tres grandes pirámides. Tiene una altura de 213.90 pies, con lados de 346.10 pies. La configuración geométrica de esta pirámide luce ser bastante simple. No obstante, su arquitecto o ingeniero nos da una buena lección en Geometría, con este diseño. Su configuración geométrica está basada en que la razón entre la longitud de los lados de la base (b) y la altura de la pirámide (R), es equivalente a f. Es decir, b / R = f. Esta configuración geométrica fue ampliamente ilustrada y explicada en el Capítulo 6. Es la configuración geométrica que muestra Leonardo da Vinci en su dibujo para ilustrar las proporciones del cuerpo humano, con las figuras de un hombre circunscrita en un círculo y en un cuadrado. El diseño de una pirámide con esta configuración, de acuerdo a mi método, se puede trazar de la siguiente forma:

1. Trace una línea de longitud A’ B’, orientada al Norte. Según se ilustra en la figura 177, seleccione un punto (O’) en la línea A’ B’, y trace la circunferencia de un círculo con un radio conveniente en tamaño, para trazar el dibujo. Circunscriba un cuadrado (abcd) al círculo. Marque los puntos A y B, en la intersección de los lados verticales del cuadrado, con la línea horizontal A’B’. Trace una línea (fe) del punto medio (f) del lado (ab) del cuadrado, al punto medio (e) del lado (dc). La distancia entre el punto A y B corresponde al diámetro horizontal del círculo, y la vertical (fe), al diámetro vertical.

 

 

Norte >

 

Figura 177

2. Según se ilustra en la figura 178, con el punto (e) de centro y la distancia (eb) de radio, trace un arco que corte la extensión de la línea del lado (dc) del cuadrado. Marque el punto (g) en la intersección.

 

Figura 178

3. Luego, según ilustrado en la figura 179, con el punto (d) de centro y (dg) como radio, trace un arco que intercepte la extensión del lado (da) del cuadrado (abcd) y marque el punto (h) en la intersección. De igual forma, del punto (g) y con un radio igual a (gd), trace otro arco que intercepte la línea vertical a través del punto (g) y marque el punto (j) en la intersección. Una el punto (h) con el punto (j) para formar otro cuadrado de mayor tamaño (hjgd), el cual representará la base cuadrada de la Pirámide.

 

Figure 179

4. Siguiendo con la figura 180, trace las líneas diagonales (dj) y (hg), al cuadrado (hjgd) y marque el punto O en su intersección. Con centro en el punto O, trace la circunferencia de otro círculo con un radio equivalente a la medida de los lados del cuadrado (abcd). Trace el diámetro vertical (QK ) y el horizontal (AB) a este nuevo círculo. Marque el punto H en la intersección del diámetro horizontal AB y la del lado (dh) del cuadrado (hjgd). Marque el punto T en la intersección del mismo diámetro con el lado (gj) del mismo cuadrado.

 

Figure 180

5. Trace una línea del punto Q al punto H (figura 181), y extiéndala hasta interceptar la circunferencia del círculo. Marque el punto P en la intersección. Trace otra línea desde el punto Q hasta el punto T y extiéndala hasta interceptar la circunferencia del círculo, marque el punto N en la intersección. Una el punto P y el punto N. Marque el punto X en la intersección de la línea PN con el diámetro vertical.

Figure 181

En la figura, el triángulo HQT representa el plano del corte de la sección vertical de la pirámide, visto a través del centro de sus caras. La distancia entre el punto H y el punto T representa la longitud de los lados de la base. La línea HT, que es un segmento del diámetro horizontal AB, identifica la base de la pirámide y la superficie sobre la cual será construida. Las distancias entre los puntos QH y QT representan la medida de la apotema.

Los cuatro puntos identificados como (h), (j), (g), y (d), establecen la posición de la proyección de las cuatro esquinas de la base de la Pirámide en su plano vertical. La sección del dibujo entre los puntos PHTN define el área, debajo de la pirámide, donde se construirán los pasadizos y cámaras subterráneas.

 

Figura 182

Luego de terminado el diseño geométrico, se establecerá el valor y la unidad de medida para la altura de la Pirámide. Las demás dimensiones serán proporcionales a la altura que se le fije a la Pirámide.

Los lados de la base de la Pirámide de Micerino representan el producto de su altura y el valor del número de oro. Por ejemplo, con una altura equivalente a 213.92 pies, los lados de la base serían iguales a b = (213.92)(f) = 346.13 pies. Ya conocemos que con la altura y la longitud de los lados de la base, la pirámide queda definida. La figura 182 muestra los resultados de las dimensiones calculadas para la Pirámide de Micerino.

Los datos en el informe de Sir W. M. Flinders Petrie para esta Pirámide demuestran que los resultados de mis cómputos para el diseño que presenté caen dentro de límites aceptables y que pueden ser considerados correctos.

Dimensiones calculadas:

Altura de la Pirámide = R = h = 213.92 pies Longitud de los lados = b = f ( R) = 346.13 pies

Circunferencia = C = p D = (p / f) (2) (b) =

= (p)(2) (213.92) = 1,344.10 pies

Perímetro de la base = D (2 f) = 4 (b) = 4 (346.13)

= 1,384.52 pies

Tangente del ángulo q = tan q = (D/b)= (213.92) (2) / 346.13 = = 1.23608 = 5-1)

Angulo de las caras = q = 51.02655° = 51° 01' 36"

Distancia vertical = OX = 44.47 pies

[Ref. #43]: Estudio de Sir W. M. Petrie (1881-82)

Altura de la Pirámide = h = Varía entre 212.42 a 214.92 pies

Longitud de los lados = b = 4,153.6 pulgadas = 346.13 pies

Inclinación de las caras = q = 51° 00' (más o menos 10')

El ángulo de inclinación = q = Correcto entre 50 ° 50', y 51° 10'.

3. La Pirámide Romboidal

La Pirámide Romboidal fue construida en Dahshur, una de las muchas regiones arqueológicas de Egipto conocida por sus pirámides. La construcción de esta pirámide se le atribuye al Faraón Sneferu, padre del Faraón Cheops. Fue construida en los principios de la cuarta dinastía. Esto indica que su construcción antecede la de la Pirámide de Cheops.

La Pirámide es muy conocida porque tiene dos ángulos diferentes en sus caras (figura 183). Esta curiosa configuración ha dado lugar a que muchos investigadores y egiptólogos sostengan que sus planos de construcción fueron alterados al notar lo inseguro y peligroso que resultaba el ángulo original utilizado para su construcción. La Pirámide fue terminada con un ángulo de menor inclinación en su sección superior. Se afirma que el ángulo original resultó ser inseguro por lo que fue cambiado, luego de llegar a cierta elevación en la etapa de construcción, a otro ángulo más seguro en la restante sección superior, evitando así, el colapso de la estructura.

 

Figure 183

Esta es la teoría más favorecida por los investigadores hoy en día, con relación a la curiosa configuración de esta Pirámide. No obstante, mi opinión es que la Pirámide fue diseñada y construida con esa forma en particular, como mostraré más adelante.

Analicé esta configuración usando los mismo principios que utilicé para el análisis de la Gran Pirámide. Esto es, la base del círculo para el diseño, el radio del círculo para representar la altura de la pirámide, el diámetro vertical para identificar el eje vertical y el diámetro horizontal para identificar la superficie del terreno.

De acuerdo con la referencia [Ref. #13, Edwards, I. E. S., Pág. 78], la sección inferior de las caras tiene un ángulo de inclinación de 54° 31' 13" (54.52°). Luego de construida parte de la Pirámide, el ángulo de inclinación de las caras fue cambiado a 43° 21' (43.35°), hasta su cima. La altura de la Pirámide es de 336 pies y tiene 620 pies en cada uno de sus cuatro lados.

Noté que el diseño de esta Pirámide aparentaba estar compuesto de la combinación de los planos de los cortes verticales de dos pirámides diferentes, sobrepuestas una sobre la otra, según se ilustra en la figura 184. Decidí estudiar separadamente las dos proyecciones de pirámides.

Figure 184

Mientras trabajaba con las proyecciones de las dos pirámides, noté además, algunos datos geométricos importantes que me llamaron la atención.

La figura 185 ilustra la proyección de la pirámide que forma la sección baja de la Pirámide Romboidal. Observé que esta configuración es similar a la configuración que se genera cuando un círculo circunscribe un cuadrado. Si se creara el diseño de una pirámide con estas características, de acuerdo con mis procedimientos y usando un radio R = 1, la longitud de los lados de la pirámide sería igual a (b) = (R) (Ö2).

 

Figura 185

Según ya expliqué, la tangente del ángulo para las caras de cualquier pirámide es igual a D / b. Por consiguiente, la tangente del ángulo de inclinación de las caras para esta pirámide sería igual a D / b = (2)(R) / (R) (Ö2) = 2 / Ö2 = Ö2. Esto es, la tangente sería equivalente a la raíz cuadrada de dos. El ángulo cuya tangente es igual a Ö2 = 1.414213562, corresponde a 54° 44' 8" (54.73556°). Este ángulo es bien parecido al ángulo de 54° 31' 13" indicado en la referencia para la sección baja de la pirámide Romboidal.

Por cierto, en otra referencia [Ref. #49, Thompkins, Peter, Pág. 136] el ángulo de las caras para la sección inferior de la Pirámide Romboidal se informa igual a 54° 41', que es más aproximado al sugerido. Además, es conocido que la Pirámide Romboidal, aunque bastante conservada en su exterior, su edificación fue muy pobre en cuanto a exactitud. Siendo ése el caso, creo que mi ángulo de 54° 44' 8" es el correcto y el cual intentaron establecer los constructores. Utilicé este ángulo para mi diseño de la parte inferior. Con lados de 620 pies, la altura de la pirámide sería igual a 438.41 pies.

Por otro lado, mientras analizaba la proyección de la pirámide correspondiente a la sección superior de la Pirámide Romboidal (figura 186), encontré otro dato también interesante. Si al ángulo de referencia 43º 21', le añadía sólo 30 segundos adicionales, tendría un ángulo de 43º 21' 30" (43.3583), el cual es el ángulo que se forma, según mis cálculos, cuando la función de la tangente del ángulo de las caras (D/b), es igual a cuatro veces, el inverso del Número de Oro al cubo. En forma matemática, (D/b) = (4) / f³. Como D = (2) (R), si resolvemos la fórmula en términos del valor de (b), tendríamos que (b) = (R / 2) (f³). Por consiguiente, con un valor de R = 336 pies, la longitud de los lados de la base de esta pirámide sería igual a b = (336 /2 ) (f³) = 711.66 pies.

 

Figura 185

Explicaré por qué considero ésta una configuración interesante. La fórmula (D / b) = 4 / f³ puede ser cambiada a D f³ = 4b . Pero resulta que (4b) representa el perímetro (P) que se crea entre los puntos I, II, III, y IV y el cual representa el cuadrado de la base de la pirámide de esta configuración en particular. Nótese que la fórmula también puede expresarse como D f³ = 4b = P. Quiere decir que el diámetro del círculo multiplicado por f³ es equivalente al perímetro del cuadrado. Además, conocemos que el diámetro multiplicado por p equivale a la circunferencia del círculo (Dp = C). Las formulas, Df³ = P y Dp = C, son muy interesantes para la construcción de una pirámide. La razón entre la circunferencia del círculo y el perímetro de su base es equivalente a (p / f³). Visto en otra forma, dos veces la altura de la pirámide (=D) multiplicado por p, es equivalente a la circunferencia del círculo, mientras que dos veces la altura de la pirámide (=D) multiplicado por f³ es equivalente al perímetro de la base.

En la figura 186, la línea inclinada QH, correspondiente al ángulo de inclinación de las caras, corta la circunferencia del círculo en el punto H’, y luego continúa hasta interceptar la extensión del diámetro horizontal del círculo en el punto H. De igual forma, la línea QT corta la circunferencia del círculo en el punto T’, y continúa hasta interceptar el otro extremo de la extensión del diámetro en el punto T. Esta información es importante ya que en esta configuración, la longitud de los lados de la base es mayor que el diámetro del círculo, por tanto, la base de la pirámide queda fuera de la circunferencia del círculo (vea el Apéndice C).

Esta configuración tiene otras importantes relaciones geométricas las cuales explicaré al final del Apéndice. Creo es la razón por la cual los antiguos egipcios usaron esta configuración sobrepuesta sobre la anterior para formar la sección superior de la Pirámide Romboidal. En relación con el ángulo de inclinación de las caras de esta pirámide, sería de provecho darle una ligera mirada a la Pirámide Roja, también localizada en Dahshur.

El ángulo de las caras de la Pirámide Roja, localizada a cerca de 1 milla al norte de la Pirámide Romboidal [Ref. #13, Edwards, I. E. S., Pág. 89], es bastante aproximado al de la sección superior de la pirámide Romboidal. Aunque el ángulo de esta Pirámide se informa de 43° 36' 11", es probable que fuera 43° 21' 30", igual al de la sección superior de la Pirámide Romboidal. Es importante señalar que el ángulo de 43° 21' 30" representa, supuestamente, el ángulo establecido en el diseño y podría variar ligeramente respecto al ángulo que se obtendrá en la obra. Es extremadamente difícil mantener exactamente el ángulo de un diseño durante la etapa de construcción de obras tan grandes como las pirámides, especialmente con la limitación en instrumentación para mensuras en esa época.

Algunas tolerancias, aunque pequeñas, tenemos que aceptar entre los datos de diseño y de la obra terminada. En mi opinión, es más importante el determinar que ángulo se pretendía establecer, o la razón de usar algún ángulo en particular, que obtener la medida actual, exacta, del ángulo de una estructura, deteriorada, construida hace cinco siglos.

Por lo tanto, usando el ángulo de 43° 21' 30" para la configuración de la Pirámide Romboidal, su diseño podría explicarse con la figura 186. Aplicarían las mismas fórmulas a la configuración. De acuerdo a mis referencias, los lados de la Pirámide Roja tienen una longitud de 722 pies. Por lo tanto, su altura, de acuerdo a mi fórmula sería igual a h = R = (2b / f) =(2)(722) / (f³) = 341 pies. La altura de esta pirámide se informa en las referencias igual a 343 pies [Ref. #13, Edwards, I. E. S., Pág. 90], y como 4,111 pulgadas = 342.58 pies en la [Ref. #47, Smyth, Piazzi, Pág. 65]. No obstante, debido a la pobre exactitud en su construcción y el deterioro sufrido a través de los años, considero que mi cálculo para la altura es correcto.

Volviendo al diseño de la Pirámide Romboidal, cuando las proyecciones de las dos pirámides son sobrepuestas, usando escalas iguales según se muestra en la figura 187, surge la figura de la Pirámide Romboidal. La sección inferior tiene una configuración que responde a un cuadrado inscrito en un círculo, mientras que en la sección superior, su configuración es tal que la razón entre la circunferencia del círculo y el perímetro de su base es igual a la razón (p / f³).

La Pirámide Romboidal tiene dos entradas, ambas en la sección inferior [Ref. #13, Edwards, I. E. S., Pág. 81]. Una queda en el centro de la cara norte, cerca de 39 pies sobre el nivel de la base. Su pasadizo de descenso, ilustrado como una proyección en el plano vertical este-oeste en la figura 187, desciende a 28° 22' por un tramo, luego continúa a 26° 20'. A unos 241.50 pies de la entrada, cambia su dirección a horizontal por un corto tramo, para llegar a una cámara. La otra entrada queda localizada en el lado oeste, a 45 pies al sur del centro de la cara, y a 110 pies, medida inclinada desde la base. Su pasadizo desciende a un ángulo de 30° 09' y luego cambia a 24° 17'. Tiene una longitud de 212 pies hasta el nivel de la base, donde cambia a horizontal por 66 pies hasta llegar a otra cámara.

 

Figura 187

En la figura 187 se indica que la distancia vertical desde la base de Pirámide, hasta el lugar donde ocurre el cambio en el ángulo de las caras, es igual a 130.23 pies. Mientras que la proyección inclinada medida desde la base, es aproximadamente 160 pies. Es importante indicar que las medidas indicadas para el cambio en el ángulo de las caras son obligadas. Esto significa que son las únicas medidas que encajan en el dibujo para la localización de ese lugar, esto es, considerando una altura de 336 pies, 620 pies en sus lados y los ángulos ya mencionados. Si la medida de 130.23 pies, no cuadra con las medidas en la estructura, significaría que las medidas señaladas por las referencias no son correctas. Sin embargo, en ese caso, como el dibujo en la configuración es proporcional en sus partes, las medidas pueden ser fácilmente recalculadas.

Las dimensiones que señala I. E. S. Edwards [Ref. #13, Pág. 81] para los pasadizos de descenso difieren completamente con los que señala Peter Thompkins [Ref. #49, Pág. 136], en longitud y en ángulos. No obstante, mi opinión es que el ángulo de diseño en los dos pasadizos, era de 26.56505°, o sea, (26° 33' 54.18"). Este es el ángulo que se forma tomando dos unidades horizontales y una vertical. Estoy de acuerdo con André Pochán de que fue el ángulo utilizado en el pasadizo de descenso y en el de ascenso en la Gran Pirámide [Ref. #45, Pochán, André, Pág. 14]. Estimo que los pequeños cambios en la dirección y ángulos de los pasadizos se realizaron para tratar de corregir su alineación hacia un lugar previamente establecido en los planos.

Si la elevación de la entrada hacia el pasadizo de descenso del lado oeste queda localizada a 95 pies sobre el nivel de la base, según se señala en la referencia de Peter Thompkins, y la longitud del pasadizo es de 212 pies, según la de I. E. S. Edwards, el pasadizo de descenso tendría su alineamiento hacia la localización del punto X, mostrado en la figura 187. Se notará que la alineación inclinada del corredor fue cambiada a horizontal cuando llegó al nivel de la base de la pirámide, luego se continuó horizontalmente hasta la entrada de una cámara. Quiero llamar la atención a este dato, ya que he enfatizado la importancia que aparenta tener la posición que ocupa el punto X en el diseño de las pirámides (vea el Apéndice D, en el cual presento mi fórmula para calcular la localización del punto X en cualquier pirámide). Esta situación es similar a la que ocurre en la Gran Pirámide, donde el pasadizo de descenso fue alineado también hacia la localización del punto X, pero al llegar a determinado lugar, cambió a una dirección horizontal para seguir hacia la entrada de una cámara. La situación se repite con el pasadizo de descenso de la Pirámide Roja. ¡Si éstas son coincidencias, seguro que son muy buenas!

En resumen, los pasadizos de descenso en estas pirámides aparentan estar dirigidos hacia la localización del punto X en las diferentes configuraciones geométricas, no obstante, antes de llegar al lugar, la inclinación cambia a horizontal para dirigirse hacia una cámara. ¡Sería interesante encontrar que hay localizado en la posición del punto X!

Por otro lado, si el cambio en el ángulo de las caras de la Pirámide Romboidal fue como resultado de una falla en la estructura, ésta pudo ocurrir a cualquier elevación sobre el terreno durante la etapa de construcción. Sería increíble que el evento ocurriera al nivel de altura que se indica en el análisis. Además, que los ángulos usados en la construcción de emergencia, correspondan con los ángulos de las dos proyecciones de pirámides sobrepuestas en el dibujo. El análisis demuestra que es muy probable que el diseño de la Pirámide Romboidal fuera realizado en la forma que he explicado y no como resultado de un cambio en la construcción, según explican y aceptan muchos expertos. Las dos configuraciones geométricas de las pirámides superpuestas son lo suficientemente importantes como para merecer ser combinadas en una sola configuración. Esto, probablemente realizado por motivos religiosos, o alguna otra creencia egipcia de ese tiempo.

Este análisis indica que los antiguos egipcios conocían muy bien la ciencia de la Geometría y que la figura del círculo fue usada para realizar sus diseños de pirámides, utilizando diferentes configuraciones geométricas. Todo esto, en apoyo a mi teoría sobre el diseño geométrico de la Gran Pirámide.

De otra parte, es tanta la referencia al valor de (1 / f³) y a la configuración geométrica de la sección superior de la Pirámide Romboidal, y a la que forma la Pirámide Roja, que merece una explicación más detallada de mi parte. El valor de (1/f³) está presente en la fórmula (D / b) = 4 / f³, que ya he explicado aplica a las configuraciones de esas pirámides. Podemos interpretar de la fórmula que 4 veces el valor de (1/f³), corresponde a la función de la tangente del ángulo que forma las caras (D / b).

El valor de (1/f³) puede ser trazado fácilmente mediante un triángulo con lados en la proporción 1:2, según se muestra en la figura 188. Por ejemplo, trace un triángulo recto como el que se ilustra entre los puntos Q, K, y Y, con lados opuestos a la hipotenusa en la razón 1:2. Designe el lado corto (QK) igual a uno(1), y el lado largo (QY) igual a 2. Con centro en K, trace un círculo con radio igual a KQ = 1. Luego, con centro en Y, trace otro círculo de igual radio.

La distancia entre los puntos de intersección de las dos circunferencias, con la hipotenusa (KY), representa el valor de (1/ f³). Esta distancia está identificada entre los puntos (W) y (S). Como el triángulo QKY es recto, con su lado corto KQ = 1, y el lado largo QY igual a (2), mediante el teorema de Pitágoras, la hipotenusa (KY) es igual a Ö5. Por lo tanto, el segmento (WS) de la hipotenusa es igual 5 - 2). Es decir, la longitud de la hipotenusa, menos los radios de los círculos con centros K y Y. Como 5 - 2) es equivalente a (1/f³), por consiguiente, WS = 5 - 2) = (1/f³).

Figura 188

La figura 189 muestra detalles adicionales para ilustrar la relación geométrica entre 1/f³ y f³. La figura está compuesta de un círculo de base, con radio unitario y centro en el punto O. En él se muestra, la configuración de la Gran Pirámide entre los puntos P, Q, y N (con ángulo en las caras de 51.82729°). Además, la figura contiene cuatro círculos de igual radio, entrelazados geométricamente, con centros en los puntos Q, Y, B y K. El lado QY del triángulo KQY que se forma es equivalente 1, y el lado QK es equivalente a 2. La hipotenusa KY, mediante el teorema de

Pitágoras, es igual a Ö5.

Esta sección del dibujo es similar a la ilustrada en la figura 188. Por consiguiente, la distancia WS, establecida entre los puntos en que las circunferencias de los círculos (con centros K y Y) cortan la línea ML, es igual a la raíz cuadrada de 5, menos 2. Es decir, WS = (Ö5 - 2) = (1/f³). Para facilitar la identificación de la medida WS en la figura, la he representado equivalente al diámetro de los círculos pequeños que se ilustran en el dibujo.

 

Figura 189

Al analizar la longitud de la línea ML, se notará que es equivalente a la suma de 4 radios (2 diámetros), más el segmento WS. En otra forma, ML = 4 (R) + (1/f³)R. Cuando R = 1, la fórmula se reduce a ML = 4 + 1/ f³ = f³. Esto significa que con esta configuración geométrica, la longitud de la línea ML representa el valor de f³, mientras que su segmento WS, representa el valor de su inverso, es decir, 1/f³. (Nótese que de la fórmula se puede establecer que (f³-1/ f³) = 4, lo cual es correcto.)

El ángulo de inclinación de las caras en la pirámide Roja está dado por la función de la tangente (D/b) = 4 /f³, y su ángulo es igual a 43° 21' 30". Cuando el valor de R es igual a 1 en la fórmula, la longitud de los lados (b) = f³ / 2. Este valor representa la (1/2) de la longitud de la línea ML. Visto en otra forma, el perímetro de la base de la Pirámide Romboidal está representado por 2 veces la longitud de la línea ML. Es decir, P = (4b) = (2) ML. Por otro lado, como el ángulo de las caras está definido por la razón (D/b), podemos interpretar que queda igualmente definido por (4 WS), es decir, 4 multiplicado por (1 /f³).

Lo siguiente será demostrar la relación geométrica que existe entre la configuración de la Pirámide Roja, el segmento WS, y la configuración de la Gran Pirámide. Para esos efectos, en la figura 189, se proyectó la medida WS a la sección que ilustra la configuración de la Gran Pirámide. La medida WS es igual a la medida vertical entre el centro O, en la base de la pirámide, y el punto X en el centro de la base del triángulo entre los puntos P, Q, y N. Ya he señalado en el Apéndice D, que la medida vertical OX es igual a (1/f³)(R). Por consiguiente, OX= WS = (1/f³).

La figura 190, derivada de la 189, muestra la relación geométrica entre la Gran Pirámide y la Pirámide Roja. Curioso..., entre la que construyó el padre (Sneferu) y la que construyó el hijo (Cheops). Para establecer la relación geométrica, establezca el punto de elevación sobre el centro O en el eje vertical, equivalente a (4)WS. Para establecer la elevación de este punto, trace 4 círculos pequeños (de diámetro = 1/ f³), tangentes entre sí, sobre el punto O. El tope del diámetro del círculo superior (punto Q’) en el eje vertical, establece la altura proporcional en el dibujo, correspondiente a la Pirámide Roja. La altura queda definida entre los puntos O y Q’.

Observe en la figura que la circunferencia del círculo con R = 1, corresponde a la Gran Pirámide y pasa a través de su cima (punto Q). Mientras que la circunferencia del círculo con R = 0.944272 (mostrada más obscura), corresponde a la Pirámide Roja y pasa a través del punto Q’. El círculo exterior, trazado con líneas entrecortadas y con R = 1.058661, muestra la localización del punto X en la Pirámide Roja.

Si la fórmula (D / b) = 4 / f³ de la configuración de la Pirámide Roja se expresa en términos de la medida de los lados de la base, tendríamos que b = (2)(R)(f³) / 4. El radio para el círculo de la Pirámide Roja sería igual a R = (4) (1/ f³) = 0.944272. Por consiguiente, la longitud de los lados de la base son equivalentes a (b) = 2 (0.944272) (f³) /4 = 2. En otras palabras, la longitud de los lados de la base de la Pirámide Roja es igual al diámetro del círculo utilizado para trazar la configuración de la Gran Pirámide (D = 2R).

 

Figura 190

Para trazar la alineación de las caras de la Pirámide Romboidal, trace una línea desde el punto Q’ hacia el punto H y otra hacia el punto B (los puntos que definen el diámetro horizontal del círculo correspondiente a la Gran Pirámide). La función de la tangente del ángulo de las caras de la Pirámide Roja, será igual a (D/b) = (2)(0.944272)/2 = 0.944272. El ángulo correspondiente a la función de la tangente mide 43.358196° (43° 21' 30").

Cada configuración de pirámide tomará sus propias dimensiones al establecerse la medida de su altura. Por ejemplo, para la Gran Pirámide con una altura de 480.66 pies, tendrá una base de b = 2 (R) / Öf = 2 (480.66 / Öf = 755.75 pies. Mientras que la Pirámide Roja, con una altura equivalente a 341 pies, sus lados serían igual a b = 2(R)(f³) / 4 = (2)(341)(f³) / 4 = 722.25 pies. Si el faraón Sneferu hubiese deseado hacer su pirámide de una altura igual a la Gran Pirámide, ésta hubiese tenido una longitud en los lados de la base equivalente a b = (2)(480.66)(f³) / 4 = 1,018 pies.

Mi método geométrico establece que la localización del punto X en cualquier pirámide se establece mediante la extensión de las proyecciones de las líneas de las caras, hasta interceptar la circunferencia del círculo utilizado en el diseño de la pirámide en particular. El punto donde cruza la línea que une los dos puntos de intersección en la circunferencia del círculo, con el eje vertical, identifica la localización del punto X. En este caso, la proyección de las líneas de las caras intercepta la circunferencia del círculo en puntos sobre el nivel de la base de la pirámide. Por consiguiente, al unir los dos puntos, el punto X queda ubicado en el eje de la pirámide, pero sobre el nivel del punto O. Esta situación ocurre cuando los lados del cuadrado de la base de la pirámide son de mayor tamaño que el diámetro del círculo.

Se notará, que las líneas Q’ H y Q’ T que representan la extensión de las líneas de las caras hasta el nivel de la base, interceptan la circunferencia del círculo (correspondiente a la Pirámide Romboidal), en el punto H’ y en el punto T’. Esto indica que la línea H’T" corta el eje vertical en un punto localizado sobre el punto O. Este sería el punto X. Esto sucede cuando los lados de la base de la pirámide son de una longitud mayor que la del diámetro del círculo. Sin embargo, un análisis más detallado, demuestra que el punto X queda localizado a distancias iguales, sobre y debajo del centro de la base de la pirámide. Esto se demuestra mediante el círculo exterior ilustrado con líneas entrecortadas, en el cual se identifica la posición del punto X sobre la base de la pirámide y el punto X’, debajo de la base. En el Apéndice D se muestra mi fórmula matemática desarrollada para determinar la localización del punto X, en cualquier configuración de pirámide.

Antes de terminar el Apéndice, quiero mostrar otro método que desarrollé para trazar geométricamente el ángulo de 51° 49' 38.3", correspondiente a las caras de la Gran Pirámide, de acuerdo con mi teoría. Este método resulta ser interesante ya que provee una forma geométrica sencilla para establecer las relaciones geométricas entre el número de oro, de su inverso (1/f) y de mayor interés, la raíz cuadrada del número de oro (Öf) y la de su inverso (1/Öf).

 

Figure 191

El procedimiento es como sigue. Establezca un cuadrado entre los puntos A, B, C, y D, según se muestra en la figura 191, con lados igual a 1. Del punto medio del lado DC (punto E), trace una línea al punto B. Del punto E, con EB de radio, trace un arco que intercepte la extensión del lado DC del cuadrado (intersección en el punto F). Luego, desde el punto D, con DF de radio, trace un arco que intercepte la extensión del lado CG del cuadrado y establezca el punto G en la intersección. Trace la línea DG para formar el triángulo DGC. El ángulo DGC es igual a 51° 49' 38.3", equivalente al ángulo de las caras de la Gran Pirámide. Las medidas de los lados del triángulo DGC son las siguientes: la hipotenusa DG que es igual a f, el lado DC igual a 1 y el lado GC = Öf. El ángulo GDC es igual a 51° 49' 38.3", que representa el mismo ángulo de las caras de la Gran Pirámide.

Sin embargo, aunque el ángulo GDC es igual al de la Gran Pirámide, los lados no son proporcionales. El lado vertical GC es igual a Öf, mientras que en la Gran Pirámide corresponde a la altura R = 1, la base DC que es igual a 1, corresponde en la Gran Pirámide a (1 / Öf). La hipotenusa DG que es igual a f, en la Gran Pirámide es igual a Öf. No obstante, si multiplicamos cada lado del triángulo GDC por (1 / Öf), éste quedará proporcional a los lados de la Gran Pirámide. El resultado sería el triángulo GHK, también mostrado en la figura, cuyos lados son proporcionales a la sección vertical de la Gran Pirámide. El ángulo GHK será equivalente a 51° 49' 38.3". El lado correspondiente a la altura (CK) será igual a 1, mientras el lado correspondiente a la mitad de la base (HK), será igual a (1 / Öf). La hipotenusa, correspondiente a la apotema (HG), será equivalente a Öf.

Considero haber presentado suficiente evidencia en este Apéndice para demostrar que las pirámides fueron diseñadas usando diferentes configuraciones geométricas en la figura de un círculo. El hecho de que mis fórmulas, los resultados matemáticos, las configuraciones geométricas, los ángulos y características en todas las pirámides estudiadas concuerden, refuerzan mi teoría. Además, se ha demostrado que este método geométrico facilita los trabajos de mensura para establecer los puntos de control necesarios en la construcción de las pirámides.

 

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