APÉNDICE  "F"

UNIDADES DE MEDIDA UTILIZADAS EN LA GRAN PIRAMIDE

Una de las incógnitas interesantes sobre el tema de las pirámides ha sido la de encontrar la unidad de medida utilizada para su edificación. Algunos egiptólogos sostienen que las medidas usadas fueron los llamados codos egipcios (distancia desde el codo del brazo hasta la punta del dedo medio de la mano). La verdad es que según varía esta medida en los brazos del ser humano, así mismo varía su valor en los libros de referencias. El valor del codo va desde cerca de 20 pulgadas, hasta aproximadamente 25 pulgadas. De acuerdo a su longitud, es conocido como codo sagrado, codo real, codo profano, etcétera. Además, la medida del codo variaba de acuerdo a la región o país en que se usaba

El conocido físico y matemático británico, Sir Isaac Newton (1643-1727), fue uno de los investigadores que se dio a la tarea de calcular la unidad de medida usada en la Gran Pirámide. Mediante las dimensiones de la estructura, Newton calculó que se usó el codo egipcio y que equivalía a 20.63 pulgadas. Muchos años después, en 1881, el ingeniero y egiptólogo, Sir W. Flinders Petrie, corroboró este mismo valor, luego de extensas y cuidadosas mensuras en la Pirámide.

No obstante, se ha afirmado por ciertos egiptólogos que la unidad de medida utilizada era la pulgada piramidal, con un valor equivalente a 1.001 pulgadas inglesas. La verdad es que no hay ninguna unidad de medida que haya sido reconocida y confirmada como la utilizada por los egipcios en la época de la construcción de las pirámides.

En cierta ocasión durante mis estudios, imaginé una situación que pudo acontecer en la época anterior a la construcción de las pirámides. Los diseñadores egipcios interesaban construir una regla para medir las distancias en la construcción de sus obras. La regla debía estar dividida en 12 unidades, igual que las 12 constelaciones en que se divide el Zodiaco.

Al igual que se me ocurrió utilizar el producto de 153 multiplicado por p, expresado en unidades de pies, para establecer la altura de la pirámide; en esta ocasión se me ocurrió que debía utilizar el producto entre 153 y f para crear la regla, pero expresado en pulgadas. Esto fue sólo una idea, pero por curiosidad, realicé el cómputo matemático. El resultado me indicaba una regla de 247.55920 pulgadas de longitud. Al dividirla en 12 unidades, cada unidad resultaba tener 20.6299 pulgadas, valor que por su proximidad, podemos expresar como 20.63 pulgadas.

El resultado no dejó de sorprenderme, pues coincidía con el valor del codo egipcio calculado por Newton y por Petrie. Quiere decir que para efectos del cálculo de Newton y de Petrie, mi regla mediría exactamente 12 codos. Quiero aclarar en este momento, que no pretendo señalar que esta es la forma de establecer el valor del codo, o que fuera la usada por Newton y Petrie con ese propósito. La presento como una de mis corazonadas, en la cual surgió una coincidencia en esos valores numéricos.

De todas formas, como la longitud de mi regla era equivalente a 12 codos, consideré correcta mi corazonada. Además, la equivalencia en los números me permitía continuar con mi idea. La medida básica para crear la regla era la de 153 pulgadas. No obstante, pretendía construir y dividir la regla mediante un proceso geométrico. El trabajo era sencillo, sólo necesitaba la medida de 153 pulgadas, o su equivalente en cualquier unidad de medida. Mi procedimiento geométrico a continuación, resulta ser igual a multiplicar un determinado número por f, y luego dividir el resultado en 12 partes iguales, veamos.

Según se ilustra en la figura 192, establezca un cuadrado (ABCD) cuyos lados tengan la medida que deseamos multiplicar por f, en este caso, 153 pulgadas. Del punto medio entre D y C (el punto E), y con EB de radio, trace un arco desde la esquina B, hasta interceptar la extensión de la línea horizontal DC. Marque el punto F, en la intersección. La distancia entre los puntos D y F representa el producto de 153 multiplicado por f, que es equivalente a la longitud de la regla. Lo siguiente consistirá en dividir la longitud de la regla en 12 unidades.

 

Figura 192

En la figura 193 muestro mi forma geométrica de marcar las 12 unidades de la regla. La medida DF en la figura 192 es igual a la medida DF, en la figura 191. Proceda de la siguiente forma: con centro en el punto medio entre D y F (Punto O), trace un semicírculo del punto D al punto F. Trace una línea vertical a través del punto O y otra a través del punto F. Trace la línea FQ, que es equivalente a Ö2 (R). Luego, desde F, proyecte la longitud de la línea FQ a la línea vertical a través del punto F. De esta manera, FQ será igual a FN. Trace OS igual a FN. La medida de la línea FS será igual a Ö3 (R). Marque el punto T en la intersección de la línea FS con la circunferencia del círculo.

 

Figura 193

Trace una línea vertical del punto T que intercepte la línea DF, marque el punto M en la intersección. El segmento MF de la línea DF resulta ser equivalente a una tercera parte de DF, es decir, igual a DF/3. Marque el segmento MV igual a MF. El segmento VD también será igual a MV y DF. Al dividir en cuatro partes iguales cada uno de los tres segmentos, DV, VM y MF, obtendrá los 12 codos (de 20.63", o su equivalente 1.71916') que tendrá la regla.

La medida básica de 153 pulgadas tiene su origen en la medida de 153 pies. Al dividir la longitud de 153 pies en 12 unidades, expresadas en pulgadas, tenemos: 153 (12) / (12) = 153 pulgadas por unidad. En la figura 193, se utiliza el mismo sistema geométrico que en la figura 192, para marcar las 12 unidades de 153".

 

Figura 194

Viendo esto en otra forma más sencilla, es como si se tomara una longitud de 153' y se dividiera en 12 partes iguales, donde cada parte mediría 153". Luego, construimos una regla de medir, donde la proporción entre su longitud y la medida de 153" sea equivalente a f. Por consiguiente, la longitud de la regla sería igual a 153 f, expresado en pulgadas. Para ser consistentes, dividimos la longitud de la regla en doce unidades, donde cada unidad representaría el valor de un codo, esto es, 153 f / 12 = 247.559 / 12 = 20.63 pulgadas, o expresado en unidades de pies, 20.63 /12 = 1.71916 pies.

Según calculado, la longitud de la regla es igual a 153 f = 247.559 pulgadas, esto es, 20.63 pies. La regla está dividida en 12 codos (de 20.63 pulgadas, o su equivalente, 1.71916 pies). Cuando las unidades son expresadas en codos, al multiplicar el número de codos por 20.63, obtenemos las medidas en pulgadas, y si multiplicamos por 1.71916, las obtenemos en pies. En su libro, Peter Hodges [Ref. #29, Pág. 46, 50] sugiere como razonable para medir distancias largas en la construcción de la Pirámide, el usar dos varas de madera con extremos de metal, con una longitud de unos 6 metros (muy cerca a los 12 codos de nuestra regla). Estas se iban alternando de posición hasta completar la medida, la que resultaría mas precisa que con una cinta de tela, o el uso de una sola vara.

Veamos algunas equivalencias con relación a estas relaciones numéricas señaladas anteriormente.

Õ La longitud de la Gran galería corresponde a 153 pies = 144 / f (1.71916) pies = 89 codos.

Õ La altura de la Pirámide = (144) (p / f) (1.71916)= 480.66 pies = 279.59 codos.

Õ La apotema de la Pirámide mide 611.41 pies = (Öf)(153 p) = 355.65 codos.

Õ Los lados de la base de la Pirámide = 755.75' = 439.60 codos

Õ El desplazamiento de 24 pies en el eje vertical de construcción de los pasadizos, hacia el lado este del centro de la cara, representa 14 codos.

Õ La cámara del Rey mide 10 codos de ancho, equivalentes a 17 pies con 2 pulgadas. Su longitud es de 20 codos, que equivalen a 34 pies con 4 pulgadas.

Como referencia, en la figura 195 se muestran las medidas de la Cámara del Rey. La cámara es rectangular y sus lados tienen una relación de 1: 2. Por consiguiente, el área del piso puede dividirse en dos triángulos, cuyos lados opuestos a la hipotenusa también guardan la relación 1:2. Estos datos indican que el valor de f está presente en su configuración geométrica, según indiqué en el Apéndice B, Propiedades del triángulo recto con lados opuestos a la hipotenusa en relación 1: 2.

Podrá comprobarse, que la suma de la distancia diagonal entre las esquinas del piso (o del techo) y el ancho de la cámara, divido entre su longitud, resultará ser equivalente al valor de f. Esto es (38.3858+17.1667) / 34.3333 = f =1.618. Por otro lado, la altura de la cámara será equivalente al producto entre su ancho y el valor de f, menos la mitad del ancho. Es decir, h = (17.1667)( f) - (17.1667) / 2) = 19.1929’ = 19' 2". La altura de la cámara también es equivalente a la mitad de la medida diagonal entre las esquinas opuestas del piso. Esto está representado en la figura con la medida (gh) = 5)(w)/2) = 5)(17.1667) / 2 = 19.1929’.

Otro dato interesante sobre la geometría de este diseño es que el plano inclinado de los lados opuestos entre el techo y el piso, lo forman dos triángulos (gbc) y (gcf), que tienen una proporción de 3:4:5 en sus lados.

 

Figura 195

 

Ancho = w = 17' - 2"

Altura = (Ö5 w) / 2 = 19.1929’

Largo = 2w = 34' - 4"

Diagonal bg = 3w / 2 = 25.75’

Diagonal cg= 5w / 2 = 42.92'

 

MEDIDAS DE LA CÁMARA DEL REY

Antes de terminar, quiero ilustrar, siguiendo el procedimiento geométrico que expliqué en la figura 192, cómo trazar geométricamente la conocida expresión aproximada de p = 1.2 f². En el Apéndice D se ilustra otra de las expresiones aproximadas entre estas dos constantes. Como f² = (1 + f), la ecuación se puede expresar como p = 1.2 (1 + f) = 1.2 + 1.2 ( f). En la figura 196 se muestra el procedimiento para establecer la medida de 1.2, mientras que en la figura 197, la cual es una continuación de la figura 196, se ilustra cómo establecer y marcar el valor de 1.2 f. El valor aproximado de p lo representa la suma de las dos medidas.

Para marcar el valor de 1.2, construya tres cuadrados seguidos, según se ilustra en la figura 196 (ABGH, BCFG, CDEF). Trace la línea diagonal HD. Desde A, trace el arco BH. Marque el punto I en la intersección del arco con la línea HD. Proyecte el punto I verticalmente a la línea HE y marque el punto J en la intersección. Luego proyecte el punto I, horizontalmente a la línea HA y marque el punto K’ en la intersección. Con el punto I de centro, y radio K’I, trace un círculo y marque el punto K en la intersección de su circunferencia con la extensión de la línea K’I. Trace una línea vertical a través del punto K y marque los puntos M y L en las línea AD y HE respectivamente. Las medidas entre los puntos A y M, así como entre H y L, serán iguales a 1.2.

 

Figura 196

La figura 197, es una continuación de la 196, la cual he separado para que se entienda mejor el proceso geométrico. Según ilustrado, con M de centro y radio AM, trace un círculo. Marque el punto N en la intersección de la circunferencia con la línea AD. Proyecte verticalmente el punto N a la línea H’Q y marque el punto O. Luego, desde el punto P (punto medio entre L’ y O), trace un arco del punto N hasta interceptar la prolongación de la Línea H’O y marque el punto Q en la intersección.

La medida H’Q representa la suma de H’L’ (igual a 1.2) más L’Q (igual a 1.2 f ), cuya suma es equivalente a 3.141641, un valor que es bastante aproximado a la constante p.

 

Figura 197

Resulta curioso, la antigua civilización egipcia nos dejó a través de pinturas, estatuas, jeroglíficos y dibujos, información sobre sus tareas diarias, su ambiente, sus creencias, su diario vivir, pero..., nada de pirámides. Es como si los faraones hubiesen ordenado guardar en secreto todo lo relacionado con sus pirámides para que nunca pudieran ser profanadas, o tal vez, copiadas.

No obstante, y en referencia especial a la Gran Pirámide, conocemos que hay suficiente evidencia en la obra para demostrar que los que la diseñaron y construyeron, tenían un excelente conocimiento de las ciencias matemáticas, especialmente de Geometría y de técnicas de construcción en edificaciones de piedra. Una obra de tal magnitud, para ser construida con tanta precisión, requiere planos bien detallados, duraderos, y que sean accesibles a diferentes ingenieros y supervisores de construcción durante todo el largo proceso de su edificación.

El faraón Cheops, tuvo que sentirse complacido de que sus diseñadores lograron plasmar sobre el terreno, el bien concebido plano geométrico de su gran obra. Además, lo haría muy feliz saber que su gran obra sigue, y seguirá siendo de admiración mundial. De la otra parte, la humanidad agradece al faraón Cheops, y a los miembros de su familia, los faraones Kefrén y Micerino, tan apreciado legado.

Egiptólogos, topógrafos, arquitectos, ingenieros, técnicos y especialistas, así como escritores, pueden estar seguros que seguirán teniendo trabajo por muchos años. No obstante, el hombre moderno, de la nueva y avanzada tecnología, de las computadoras, de viajes espaciales, no descansará hasta conocer los bien guardados secretos de su edificación. Seguirán excavando en las profundidades de la tierra hasta encontrar cómo la civilización egipcia logró construir esos monumentos con la instrumentación y tecnología que tenían disponibles hace cinco mil años. Será cuando se puedan evaluar y juzgar las distintas teorías que han surgido a través de las épocas.

Los resultados de mi investigación sobre las pirámides, así como mi teoría sobre la solución geométrica de la Gran Pirámide presentados en este libro, constituye mi humilde aportación dentro de este campo de tantas interrogantes, con el propósito de que sirva para abrir brechas hacia nuevas avenidas de conocimiento.

 

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