CAPITULO 3
Dimensiones y características de la pirámide modelo
Luego de terminar el diseño geométrico de la pirámide modelo en el capítulo anterior, lo siguiente será fijar su altura. Como en el diseño se utilizó un círculo de radio unitario, donde su radio simboliza la altura, podemos seleccionar entre una cantidad infinita de valores numéricos y unidades de medida para establecerla. Una vez se designe la altura, las demás dimensiones quedarán fijas.
Quiere decir que la configuración del diseño se mantendrá igual, independientemente de la medida que se use para la altura. En otras palabras, la pirámide tiene la propiedad de poder ajustarse a cualquier escala para aumentar o disminuir de tamaño, sin cambiar su forma original, por lo menos en lo que respecta a su diseño. No obstante, en la fase de construcción, su tamaño depende de las facilidades, equipo, materiales, fuerza laboral, y otros aspectos, disponibles para erigir la obra. Para efectos de nuestra pirámide modelo, se considera que todos estos requisitos están disponibles. Así que podemos fijar la altura, no importa su dimensión.
Luego de seleccionar y fijar la altura de la pirámide, se hará una comparación entre las medidas calculadas para el modelo de pirámide y las que han sido tomadas de la Gran Pirámide. En este momento podemos establecer la premisa de que "si las dimensiones y ángulos que se producen en nuestra pirámide modelo coinciden con las dimensiones y ángulos tomados de la estructura de la Gran Pirámide, comparados usando unidades de medida iguales, los dos diseños deben ser iguales. Por consiguiente, los procedimientos usados para producir los diseños, también deben ser iguales, o similares". Esto resultaría ser así, no importa las unidades de medida usadas por los constructores egipcios de esa época para realizar el diseño y la construcción de la Gran Pirámide.
Los diseñadores egipcios pudieron haber usado los llamados codos sagrados como unidad de medida, las pulgadas piramidales, las pulgadas primitivas, o tal vez alguna otra unidad de medida no identificada hasta ahora, no importa. Sabemos que la medida entre dos puntos la podemos expresar en la unidad de medida de nuestra preferencia, o conveniencia. Pero por otro lado, sabemos que la comparación entre distancias de igual unidad de medida, es válida. Ese es el caso entre nuestras medidas y las que se han tomado de la Gran Pirámide. Si el valor de la medida entre dos puntos de nuestro modelo coincide con el valor medido entre los dos puntos correspondientes en la Gran Pirámide, usando la misma unidad de medida para la comparación, ambas medidas tienen que ser iguales.
Podía seleccionar entre una infinidad de valores y unidades de medida para la altura de la pirámide. No obstante, seleccioné la altura de 480 pies con 7.96 pulgadas (el producto de 153 pies multiplicado por
p). Según señalé, ésta es la relación numérica que me inspiró a realizar el estudio sobre las pirámides. Luego de fijar la altura de la pirámide (la única medida introducida en la configuración geométrica), calculé las dimensiones que se producían en sus diferentes secciones estructurales.Las medidas presentadas en este capítulo, e ilustradas en las diferentes figuras, son las calculadas para la pirámide modelo, [excepto las colocadas dentro de los paréntesis, escritas en tipo itálico, que corresponden a las citas de Referencias (de acuerdo al libro), sobre las medidas en la Gran Pirámide]. Para facilitar la comparación, las unidades se expresan en pies, a dos sitios decimales. Creo que pretender ir más allá, y no dar margen de error, es asumir que la pirámide no fue construida por seres humanos.
En la figura 58 se ilustran las dimensiones calculadas para la estructura exterior. Como el radio del círculo (altura) es igual a 480.66 pies, su diámetro es equivalente a 961.33 pies. La longitud de los lados, identificada por la medida HT, es 755.75 pies. [Ref. #49, Tompkins, Peter, Pág. 106]. La apotema, medida inclinada desde el centro de la base hasta el ápice de la pirámide es igual a 611.41 pies [Ref.#44, Pochán, André, Pág. 42].
Por otro lado, la medida de los lados PQ y QN, también es igual a 755.75 pies. Esta medida llama la atención inmediatamente por ser igual a los lados de la base de la pirámide. Lo anterior significa que el cuadrado de la base de la pirámide (entre los puntos I, II, III y IV), es igual al cuadrado que podemos construir sobre los lados PQ, o QN, del triángulo PQN. En el Apéndice D, se abunda sobre ésta propiedad de la configuración geométrica.
Figura 58
El lado PN, la base del triángulo PQN, queda a 113.47 pies debajo de la base de la pirámide, la cual está identificada por la línea HT. La posición del punto X, lugar seleccionado para localizar la cámara mortuoria del faraón en el ejercicio, coincide con el eje vertical central de la pirámide y queda también ubicado a 113.47 pies debajo de la superficie. La posición del punto X representa un lugar céntrico en el diseño y da balance a la pirámide.
Podemos observar en la figura 59, que el ángulo de inclinación de la línea que establece el alineamiento del pasadizo de descenso, es de 26° 33' 54" (26.56505°). [Ref. #44. Pochán. André, Pág. 42]. El ángulo corresponde con la inclinación de la línea KL, según se estableció. Las caras de la pirámide tienen una inclinación de 51° 49' 38.26" (51.82729°). [Ref. #44, Pochán, André, Pág. 40, (indica 51° 51', más o menos 1 minuto)].
Figura 59
La entrada original de la pirámide modelo queda localizada a 54.17 pies medidos verticalmente sobre la superficie del terreno (vea detalle en figura 60). [Ref. #13, Edwards, I. E. S., Pág. 119, (más o menos 55 pies]. La figura 60 muestra un detalle ampliado de la entrada original de la pirámide.
Figura 60
La proyección del pasadizo de descenso, desde el punto X hasta el punto S, es igual a 253.73 pies, y desde el punto S al punto m, es igual a 121.14 pies, por tanto, la lngitud del punto X al punto m, es equivalente a 374.87 pies. El punto S representa el lugar sobre la superficie del terreno donde se debió iniciar la excavación del pasadizo de descenso sobre el terreno, en dirección hacia el punto X (cámara mortuoria del faraón).
La figura 61 muestra el plano horizontal de la base cuadrada de la pirámide, sobrepuesto sobre el plano vertical, a través del centro de las caras.
Figura 61
La longitud de la línea Xm’, proyección de la línea del pasadizo de descenso, es igual a 374.87 pies. La medida Xm se construyó igual a la medida Ot, por tanto, Ot también es igual a 374.87 pies. La concavidad o desplazamiento del centro de la base hacia el centro de la pirámide, es igual a la diferencia entre la medida de O T (377.87), y la medida de Ot (374.87). Por consiguiente, la concavidad de las caras en la base es igual a 3 pies. [Ref. #44, Pochán, André, Pág. 38, (Concavidad de las caras de la Gran Pirámide = 3 pies)].
En la figura 62 se ilustra la posición de las cámaras del rey y de la reina con relación al punto X. Observe que la elevación del punto Z (nivel del piso de la cámara del rey), sobre el nivel de la base de la pirámide es de 140.26 pies. [Ref. #44, Pochán, André, Pág. 150, (140.88 pies)].
El punto V (lugar donde termina el piso de la gran galería en el eje vertical), se encuentra a 137.54 pies sobre el mismo punto. Mientras que el punto W, nivel del piso de la cámara de la reina, queda a 70.13 pies. [Ref. #44, Pochán, André, Pág.150, (70.44 pies)].
Según requerido por las especificaciones geométricas, la medida vertical del punto X al punto Z es igual a la medida del punto X al punto S. Esta medida es equivalente a 253.73 pies. La elevación del piso de cámara de la reina, identificada con el punto W, queda localizado a 183.60 pies sobre el nivel del punto X.
Figura 62
En la figura 63 se ilustra que el ángulo de inclinación del pasadizo de ascenso es 26° 33' 54.2" (26.56505°). [Ref. #44, Pochán, André, Pág. 47, (ángulo de inclinación del pasadizo de ascenso = 26.56505°)].
De otra parte, el nivel del piso de la cámara subterránea (punto Y), queda a 102.79 pies debajo del nivel de la superficie de la base de la pirámide. Esta medida es igual a la que hay entre DT y TB, según requerido en las especificaciones geométricas para el diseño de la pirámide modelo.
La elevación del punto V, al final del pasadizo de ascenso en la gran galería, es de 240.33 pies (la mitad de la altura de la pirámide) sobre el nivel de la cámara subterránea, y de 251.01 pies, con relación al punto X. Por tanto, la medida vertical del punto X al punto Y, es equivalente a 10.68 pies.
Figura 63
La diferencia en elevación entre el punto Z (253.72 pies) y el punto V (251.01 pies) sobre el punto X, es igual a 2.71 pies, o sea, 32.5 pulgadas. [Ref. #44, Pochán, André, Pág. 61, (36 pulgadas)]. Esta diferencia en elevación representa la medida vertical del "gran escalón", en la sección superior de la gran galería. En la figura 64 se muestra un detalle de esta sección del dibujo.
Figura 64
La figura 65 muestra que la longitud inclinada del pasadizo de descenso, desde la entrada de la pirámide (punto m), hasta el lugar donde éste cambia a una dirección horizontal (punto s), es equivalente a 344.91 pies. [Ref. #13, Edwards, I. E. S., Pág. 120, (cerca de 345 pies)]. Mientras que la sección horizontal del pasadizo mide 26.79 pies [Ref. #47, Smyth, Piazzi, Pág. 221, (27 pies )].
Figura 65
El nivel del piso de la cámara subterránea queda ubicado a 10.68 pies sobre el nivel del punto X. Como la elevación de la sección horizontal del pasadizo a la entrada de la cámara es 13.39 pies, se produce un escalón de 2.71 pies, esto es, cerca de 33 pulgadas. [Ref. #44 Pochán, André, Pág. 42, (28 pulgadas)]. Este escalón es similar al ubicado en la sección superior de la gran galería (gran escalón). Vea la figura 66.
Figura 66
De otro lado, la medida inclinada del punto V al punto D, es decir, la longitud de la proyección de la línea del pasadizo de ascenso, desde su inicio en el eje vertical hasta su intersección con la línea OT, es equivalente a 307.55 pies.
Figura 67
La sección de la línea inclinada del pasadizo de ascenso, comprendida entre el punto D, y el punto p, mide 156.81 pies. La medida del punto I, al punto p, es equivalente a 129.90 pies. [Ref. #13, Edwards, I. E. S., Pág. 121, (129 pies)].
Figura 68
En la figura 68 se ilustran los detalles de las medidas calculadas para el ancho de la cámara subterránea y las del pasadizo sin salida.
Figura 69
La longitud de la sección del pasadizo de la cámara de la reina, desde el punto p’, hasta el eje vertical en el centro de la pirámide (punto W), es equivalente a 140.26 pies. Mientras que del punto p al punto W es 134.83 pies. La línea ZD’ es una línea imaginaria que va desde la esquina superior del escalón en la plataforma (punto Z), al punto D’ en el radio horizontal (OB). Debemos recordar que esta línea se movió desde el punto p’ al punto p, de manera que el piso de la gran galería coincidiera con el del pasadizo ascendente.
En la figura 70 se ilustra la dimensión longitudinal de la Gran Galería, según las referencias. El propósito es esta figura es verificar si sus medidas corresponden con las determinadas y calculadas en el ejercicio geométrico. Su longitud desde la pared norte hasta la pared sur, es igual a 156.81. Vemos en la figura 71, que estas medidas encajan perfectamente en el espacio de 156.81 pies longitudinales que obtuvimos en nuestro diseño para la gran galería en el modelo de pirámide. La diferencia en longitud entre las paredes norte y sur al nivel del piso y la del techo (156.81-153.0 = 3.81 pies, o su equivalente, 45.72 pulgadas. Si esta diferencia se divide entre los siete espacios en que la pared norte, y los siete de la pared sur, se desplazan hacia el centro de la Gran Galería, cada espacio a desplazarse sería de aproximadamente 3.25 pulgadas. Esta medida se indica en las referencias como de aproximadamente 3 pulgadas.
Figura 70
Figura 71
Figura 72
En la figura 72 se muestra como luce la sección longitudinal de la gran galería luego de ser proyectada sobre el espacio determinado por nuestro ejercicio geométrico. Excepto en la medida de la altura, el diagrama encaja perfectamente en el lugar destinado. Nuestra altura refleja 26.77 pies, mientras que la altura de la Gran Galería se señala como de 28 pies.
Por otro lado, en la figura 73 se muestran las medidas en la Gran Pirámide, de la sección del plano vertical de norte a sur, de la cámara de la Reina.
Figura 73
En la figura 74, se muestra como lucen esas medidas al ser marcadas sobre el diseño de la pirámide modelo. Las dimensiones en la figura fueron trazadas de manera que el nivel del piso y el centro de la cámara de la Reina coincidan con el eje vertical y el nivel del piso de la pirámide modelo. De esta forma podemos comprobar si la posición del punto G (punto de convergencia de los canales de ventilación), y las medidas correspondientes a los canales de ventilación, fueron localizadas correctamente.
Figura 74
De acuerdo con los resultados calculados, los canales quedan localizados a 5.63 pies (5 pies 8") sobre el nivel del piso. [Ref . #34.
Lemesurier, Peter, Pág. 99, (5.63 pies)]. Estos inicialmente recorren una distancia horizontal de 6.98 pies [Ref. # 47 Smyth, Piazzi, Pág. 428. (7 pies)]. Luego suben a un ángulo de inclinación de 38.17271° (38° 10' 21.8") hacia sus salidas en las caras. [Ref. #44, Pochán, André, Pág. 53,56, (38° 28 minutos)].En la figura 75 vemos que las salidas de los canales, en ambas caras, quedan localizados a 222.95 pies sobre el nivel de la superficie del terreno. La longitud de cada canal sería de 244.90 pies, esto es, la suma de sus 6.98 pies correspondientes a su tramo horizontal, más los 237.92 pies de su tramo inclinado.
Por otro lado, la medida inclinada desde la proyección de la línea de la base, hasta las salidas de los canales en la parte superior, sería de 283.60 pies.
Figura 75
En la figura 76 se ilustra la posición y medidas calculadas para los canales de ventilación de la cámara del rey. El ángulo de la sección inclinada del canal del lado norte es igual a 31.71747° (31° 43' 3"). [Ref. #44, Pochán, André, Pág. 57, (31 grados 33')].
Figura 76
La medida inclinada del canal del lado norte, desde el centro de la base hasta su salida en esa misma cara, es igual a 332.16 pies. La salida del canal queda a 261.13 pies sobre el nivel del terreno. La longitud total del canal es igual a la suma de 10.37 pies correspondientes a su sección horizontal, más 223.40 pies de su sección inclinada, para un total de 233.77 pies. [Ref. #47, Smyth, Piazzi, Pág. 223, (233.23 pies)].
La sección inclinada del canal del lado sur tiene un ángulo de inclinación de 45°. La longitud total del canal corresponde a la suma de 6.59 pies de su sección horizontal, más 169.15 pies de la sección inclinada, esto es, 175.74 pies. [Ref. #47, Smyth, Piazzi, Pág. 223, (174.42 pies)]. La medida inclinada sobre la superficie de la cara sur, desde la proyección de la línea de la base, hasta la salida del canal en la sección superior de la cara, es igual a 335.19 pies. La salida del canal queda ubicada verticalmente a 262.83 pies sobre el nivel del terreno.
Figura 77
En la figura 78 se muestran las medidas de la sección longitudinal del área comprendida entre el escalón en la Gran Galería y la cámara del Rey. El propósito de la ilustración es comparar estas medidas con la posición y medidas de los canales de ventilación, según determinados en nuestro diseño geométrico.
Figura 78
El ancho de la cámara del rey, de norte a sur, es de 17 pies con dos pulgadas (17.17 pies). Se informa que la altura de la cámara, varía entre 19 pies 1 pulgada (19.083') y 19 pies con 2.75 pulgadas (19.229'). La variación es atribuida al desnivel de los bloques de piedra que forman el piso, probablemente motivada por movimientos sísmicos.No obstante, se dice que su altura original es equivalente a la mitad de la medida diagonal entre las esquinas del piso. De ser así, la longitud de la medida diagonal de la cámara, mediante el teorema de Pitágoras, corresponde a la raíz cuadrada de (17.17) ² + (34.33) ² = 38.38 pies. Por tanto, la mitad de la línea diagonal es igual a 19.19 pies, o sea, 19 pies con 2.31 pulgadas. Para efectos del dibujo, tracé la altura de la cámara igual a este último valor.
Figura 79
En la figura 79 se marcaron las medidas calculadas en el ejercicio geométrico, incluyendo las medidas entre el eje vertical de los canales de ventilación y el eje vertical de la Gran Pirámide (38.38 pies). La medida horizontal de 44.70 pies entre la esquina del "gran escalón" y la pared sur del Cámara del Rey, cuadra perfectamente con nuestras medidas [Ref. #44, Pochán André,
Pág. 61, (44.70 pies)].Observe que las líneas inclinadas de los canales, cuyo origen es el punto de convergencia M, interceptan las secciones horizontales de los canales. El canal del lado sur queda ubicado a 41 pulgadas sobre el nivel del piso, y la medida horizontal del canal en este lugar es de 6.59 pies, cifras que prácticamente coinciden con las que tiene esta sección en la Gran Pirámide [Ref. #43, Petrie, Flinders, Pág. 24, (6.66 pies)]. Para que esto suceda, el punto de convergencia (M), tiene que estar localizado exactamente en el sitio correspondiente para que las medidas coincidan. En esta situación podría haber una pequeña variación si la medida se toma en la base del canal, en el centro, o en su techo.
Otro detalle que se ilustra es la altura de la cámara. Notará que al proyectar, desde el punto u, la medida horizontal del punto u al punto c (19.19 pies) al plano vertical, se establece la altura de la cámara (punto h). Observe que el punto c define los límites entre la antecámara y la cámara del rey.
En la pirámide modelo, el eje vertical de los canales de ventilación, que originalmente coincidía con el eje vertical de la pirámide, fue trasladado horizontalmente hacia el lado sur. La figura 80 ilustra las medidas que se producen con el cambio.
Figura 80
Para trasladar la posición del punto M’ al punto M, se utilizó la medida entre los puntos Z y d, donde d representa el punto medio entre el punto G (punto imaginario donde se interceptan los canales de ventilación de la cámara de la reina), y el punto Z (la esquina superior del escalón en la gran galería). Esta medida vertical es igual a 76.75 pies. Quiere decir que el eje vertical de los canales de ventilación se movió horizontalmente 76.75 /2 = 38.38 pies, hacia el lado sur.
Figura 81
La figura 81 muestra la planta del área comprendida entre la cámara del rey, la antecámara y una parte de la Gran Galería. En ella se presenta en el plano horizontal, la relación de dimensiones presentadas en la figura 79.
No hay duda de que el faraón Cheops tuvo que sentirse muy complacido de que su gran arquitecto (y genio), logró plasmar en la obra el bien concebido plano geométrico que se le encomendó.
En el siguiente capítulo se presentará una comparación con más detalles, entre las medidas calculadas para la pirámide modelo y las medidas reales que se han tomado en la Gran Pirámide.